20 de abril de 2011

Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função

Por Prof. Paulo Sérgio C. Lino

Disponível em http://fatosmatematicos.blogspot.com/

A Engenharia no dia a dia conta agora com o apoio do Professor Universitário Paulo Sérgio C. Lino, articulador do Blog Fatos Matemáticos, que tem como objetivo divulgar a Matemática em todos os seus níveis, buscando deste modo melhorar a Educação do país.

A Matemática sempre foi considerada pelos estudantes como uma das disciplinas com maior grau de dificuldade de entendimento, e no Blog Fatos Matemáticos, o Prof. Paulo Sérgio tem a preocupação de buscar quais as formas que a matemática deve ser assimilada e transmitida.

Seja [;f(x,y,z);] uma função definida numa região do espaço tridimensional. Por exemplo, a temperatura de uma sala pode ser representada pela função [;T(x,y,z);] ou [;T(\vec{u});], onde [;\vec{u} = (x,y,z);] é o vetor posição.
Seja [;P_0;] um ponto dessa região. Com que taxa, [;f;] varia quando partimos de [;P_0;] numa direção específica?
Observe que nas direções dos eixos [;x\ ;], [;y;] e [;z;] sabemos que as taxas de variação de [;f;] são dadas pelas derivadas parciais
[;\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y} \quad \text{e} \quad \frac{\partial f}{\partial z};]
Mas como calcular a taxa de variação de [;f;]se partimos de [;P_0;] numa direção que não é a de nenhum eixo coordenado? Se partimos de [;P_0;], quais as direções em que teremos a máxima e a mínima taxa de variação de [;f;]?
A procura das respostas para estas perguntas nos leva aos conceitos de derivada direcional e gradiente de uma função. Veremos inicialmente a derivada direcional de funções de duas variáveis. Para isso, sejam a função [;z = f(x,y);], diferenciável numa região [;D \subset \mathbb{R}^2;] e o ponto [;P_0(x_0,y_0) \in D;]. Além disso, considere no plano [;xy;] uma direção orientada dada pelo vetor unitário . Tomemos o ponto [;Q(x_0 + \triangle x, y_0 + \triangle y) \in D;], próximo de [;P_0;] tal que o vetor [;\vec{P_0Q};] tenha a mesma direção e sentido do vetor [;\vec{u};]. Deste modo, [;\vec{u};] é o vetor unitário do vetor [;\vec{P_0Q};] conforme a figura abaixo.
O acréscimo da função [;f;], quando passamos de [;P_0;] para [;Q;], é
[;\triangle z = f(x_0 + \triangle x, y_0 + \triangle y) - f(x_0,y_0);] [;=\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\triangle x + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\triangle y + \eta_1\triangle x + \eta_2\triangle y \qquad (1);]
onde [;\eta_1 \to 0;] e [;\eta_2 \to 0;] quando [;\Delta s \to 0;]. Dividindo [;(1);] por [;\triangle s;], temos
[;\frac{\triangle z}{\triangle s} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\frac{\triangle x}{\triangle s} + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\frac{\triangle y}{\triangle s};] [;+ \eta_1 \frac{\triangle x}{\triangle s} + \eta_2 \frac{\triangle y}{\triangle s} \qquad (2);]
Do triângulo retângulo [;P_0RQ;],
[;\frac{\triangle x}{\triangle s} = \cos \alpha \qquad \text{e} \qquad\frac{\triangle y}{\triangle s} = \sin \alpha;]
Substituindo estes valores em [;(2);], segue que
[;\frac{\triangle z}{\triangle s} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha + \eta_1\cos \alpha + \eta_2\sin \alpha;]
Assim,
O limite [;\frac{\triangle z}{\triangle s};] quando existir e for finito é chamado derivada direcional da função [;f;], no ponto [;P_0;], na direção do vetor [;\vec{u};] e indicaremos pelo símbolo [;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}};]. Logo,
[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha;]
Exemplo 1: Determine a derivada direcional de [;f(x,y) = x^2 + xy + 2y^2;] no ponto [;P_0(2,1);] na direção do vetor [;\vec{u} = (3,-4);].
Resolução:
Note que [;\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y;], de modo que [;\frac{\partial f}{\partial x}(P_0) = 2\cdot 2 + 1 = 5;] e sendo [;\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y;], segue que [;\frac{\partial f}{\partial y}(P_0) = 2 + 4\cdot 1 = 6;]. Por outro lado, [;\frac{\vec{u}}{\mid \vec{u} \mid} = (3/5,-4/5) \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{3}{5} \qquad \text{e} \qquad \sin \alpha = -\frac{4}{5};]
Logo,
[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha;] [;=5\cdot \frac{3}{5} + 6\cdot (-\frac{4}{5}) = 3 - \frac{24}{5} = -\frac{9}{5};]
Exercício: Determine a derivada direcional de [;f(x,y) = x^2 + y^2;] no ponto [;P_0(1,1);] na direção de [;45^{\circ};]com o eixo [;x\ ;].
No próximo post, veremos a derivada direcional de funções de três variáveis. Mas para isto, precisamos dos conceitos de ângulos e cossenos diretores.
Seja o vetor [;\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k};] não-nulo, conforme a figura abaixo:
Definição 1: Chama-se ângulos diretores de [;\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k};], os ângulos [;\alpha;], [;\beta;]e [;\gamma;] que o vetor [;\vec{u};] forma com os vetores [;\vec{i} = (1,0,0);], [;\vec{j} = (0,1,0);] e [;\vec{k} = (0,0,1);]respectivamente.
Definição 2: Chama-se cossenos diretores de [;\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k};] os cossenos dos ângulos [;\alpha;], [;\beta;]e [;\gamma;].
Da definição de ângulos diretores, temos
[;\vec{u}\cdot \vec{i} = \mid \vec{u} \mid \mid \vec{i}\mid \cos \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{x}{\mid \vec{u}\mid};]
Analogamente,
Uma propriedade interessante sobre os cossenos diretores de um vetor é dada pela proposição.
Proposição 1: Se [;\alpha;], [;\beta;] e [;\gamma;] são os ângulos diretores do vetor [;\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k};], então
[;\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1;]
Demonstração: De fato,
[;\cos^2\alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \frac{x^2}{\mid \vec{u}\mid^2} + \frac{y^2}{\mid \vec{u}\mid^2} + \frac{z^2}{\mid \vec{u}\mid^2} = \frac{\mid \vec{u}\mid^2}{\mid \vec{u} \mid^2} = 1;]
Exemplo 2: Se [;\alpha;],[;45^{\circ};]e [;60^{\circ};] são os ângulos diretores de um vetor, determine [;\alpha;].
Resolução: Segue da Prop. 1 que
[;\cos^2 \alpha + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = 1 \quad \Rightarrow ;] [;\cos^2 \alpha = 1 - \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) - \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4};]
donde segue que [;\cos \alpha = \pm \frac{1}{2};] .
Exemplo 3: Calcule os cossenos diretores do vetor [;\vec{u} = (1,-\sqrt{2},\sqrt{2});].
Resolução: Sendo
[;\mid \vec{u} \mid = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{5};]
segue que [;\cos \alpha = 1/\sqrt{5};], [;\cos \beta = -\sqrt{2/5};] e [;\cos \gamma = \sqrt{2/5};].

Autorizada a reprodução total ou parcial deste Artigo, desde que citada a fonte. Vedada a memorização e/ou recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de trechos ou partes, em qualquer sistema de processamento de dados.

3 comentários:

  1. Obrigado pela divulgação do post. Fica a sugestão de apresentar também a parte 2 que se encontra neste link

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/10/derivadas-direcionais-e-o-gradiente-de.html

    ResponderExcluir
  2. Sim, em breve estaremos com a segunda parte do artigo.

    Abç

    ResponderExcluir
  3. Jorge,

    É com muita alegria que passo por aqui para agradecer-lhe pela cumplicidade permitida, ao acompanhar o Caminhar & Ruminar, que ontem completou o seu primeiro ano de vida. Obrigado!

    A festa é você, a sua presença e amizade que empresta sem reservas! Tenha certeza, significa muito!

    Receba o meu fraternal abraço!

    ResponderExcluir

A Engenharia no Dia a Dia - No ar desde Maio de 2009

Navegando no Conhecimento

Top Sites Elétrica / Tecnologia

O Brasil Sustentável

Na Blogsfera

Mary PopPowered by BannerFans.com
create your own banner at mybannermaker.com!Quanta Besteira - Humor sem FrescuraCinema Jogos

Entre Amigos

Googlando pela Web

GOOGLE ART PROJECT Tour pelos Museus do Mundo GOOGLE MAPS Rotas, Ruas e Trânsito GOOGLE LIVROS Livros a um Clique GOOGLE SCHOLAR A sua Fonte de Pesquisa em Trabalhos Acadêmicos

Rodapé

Share |
original feed A Engenharia em Feed
Link-Me20 Minutos
This website has page rank 3. Information provided by WebmasterHandyTools.com Creative Commons License
Termos de Uso
Copyright © 2009 - 2010
Engenharia no dia a dia / por Engenheiro Jorge Paulino
Melhor visualizado com Firefox - 1024x768
<< Voltar ao Início da Página
Related Posts with Thumbnails