Por Prof. Paulo Sérgio C. Lino
Disponível em http://fatosmatematicos.blogspot.com/
Dando prosseguimento ao estudo das derivadas direcionais e o gradiente de uma função, neste post, veremos a definição da derivada direcional para funções de
variáveis independentes e o máximo da derivada direcional.
Definição 1: Sejam a função
, diferenciável numa região
, o ponto
e a direção orientada no espaço
, definida pelo vetor unitário
. A derivada direcional da função
no ponto
e na direção de
é definida por:
Exemplo 1: Seja dada a função
. Achar a derivada direcional
no ponto
na direção do vetor
.
Resolução: Sendo
, então
,
e
. As derivadas parciais de
são dadas por
Para cada vetor
, temos um único valor para
. Assim, a derivda direcional é uma função da variável
, ou seja,
Se houver uma direção em que a direção direcional tem um valor máximo, este valor é chamado gradiente de
em
. Geometricamente, o gradiente é a inclinação da tangente de maior declividade que pode ser traçada no ponto
. Para achar essa direção, fazemos
, ou seja,
Dependendo dos sinais das derivadas parciais de
, o ângulo
é um ângulo do
e
quadrantes ou
e
quadrantes. Da expressão
, segue que
ou seja, o gradiente de
em
é o módulo de um vetor cujas componentes são
e
. Isto sugere a seguinte definição:
Definição 2: Seja
definida e contínua na região
. Admitindo que
e
existam, o vetor gradiente da função
no ponto
é definido por
cujas coordenadas são as derivadas parciais de
ordem calculadas em
, é chamado gradiente da função
no ponto
.
Observações:
1) Pela definição acima segue que
. Logo, o vetor gradiente aponta na direção e sentido em que
possui o maior crescimento.
2) O gradiente de funções de
é definido de maneira análoga, ou seja, se
, então
Definição 3: Chama-se operador diferencial vetorial ou operador nabla, denotado por
ou
, o vetor definido por:
Este vetor possui propriedades análogas às dos vetores comuns e simplifica bastante ao vetor gradiente definido acima, isto é,
Teorema 1: A derivada direcional
em qualquer direção dada é a componente escalar do
naquela direção, ou seja,
onde
é o ângulo entre os vetores
e
, sendo
um vetor unitário dado.
Demonstração: Sejam
diferenciável numa região
e o ponto
. Assim,
1) Nos exercícios abaixo, determine as derivadas direcionais das funções dadas nos pontos dados e nas direções indicadas. a)
em
na direção do vetor
; b)
em
na direção do vetor
.
2) Calcule o vetor gradiente das funções abaixo nos pontos dados: a)
em
; b)
em
.
3) Mostre que
a)
4) A temperatura
de uma placa circular aquecida, em qualquer dos seus pontos
é dada por
estando a origem no centro da placa. No ponto
determine:
a) A taxa de variação de
Autorizada a reprodução total ou parcial deste Artigo, desde que citada a fonte. Vedada a memorização e/ou recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de trechos ou partes, em qualquer sistema de processamento de dados
Jorge, Seja bem vindo ao novo espaço de educadores.
ResponderExcluirSua presença muito nos alegra.
Abraços,
Equipe de educadores.
http://redeeducacaoemfoco.blogspot.com/
Querido Jorge! Não entendo nada de engenharia, confesso, mas achei interessante até porque tenho engenheiros que me seguem e isso será muito bom para eles interagirem contigo.
ResponderExcluirObrigado pela visita e postei um banner seu no meu Top parceiros. Tomara que gere visitas para ti.
Abração!