A Engenharia no Dia a Dia: As Funções de Bessel Através das Transformadas de Laplace

Por Prof. Paulo Sérgio C. Lino

Disponível em http://fatosmatematicos.blogspot.com/

As funções de Bessel são usadas durante o Curso de Engenharia Elétrica, principalmente no estudo dos fenômenos Eletromagnéticos; a teoria das ondas eletromagnéticas tem como pré requisito um conhecimento mínimo no calculo das equações diferenciais.

O Prof. Paulo Sérgio, demostra com clareza neste artigo, a base para esse estudo.

As funções de Bessel são dadas pelas soluções da equação diferencial

$[;x^2y^{\prime \prime} + xy^{\prime} + (x^2 - \alpha^2)y = 0 \quad \quad (1);]$

sendo $[;\alpha;]$ real ou complexo. Quando utiliza-se um número inteiro, este é referido como a ordem da função de Bessel.

A equação $[;(1);]$ surge em problemas relacionados à condução de calor, vibração e processamento de sinais. (Fonte: Wikipédia) Neste post, estudaremos algumas propriedades da função de Bessel de ordem zero que é a solução de $[;(1);]$ fazendo $[;\alpha = 0;]$ e com as condições iniciais $[;y(0) = 1;]$ e $[;y^{\prime}(0) = 0;]$ , ou seja,

$[;\begin{cases}xy^{\prime \prime} + y^{\prime} + xy = 0\\y(0) = 1\\y^{\prime}(0) = 0\\\end{cases}\quad \quad (2);]$

Existe o método de Frobenius que resolve a equação $[;(1);]$ e o problema de valor inicial $[;(2);]$ , mas prefiro usar as transformadas de Laplace, mostrando todas as suas potencialidades inclusive para algumas EDO's não-lineares. Antes de continuar em busca da solução do Problema de Valor Inicial $[;(2);]$ , vejamos algumas propriedades das transformadas de Laplace com relação as derivadas e ao produto por potências de $[;x\ ;]$ . Seja $[;Y(s);]$ a transformada de Laplace da função $[;y(x);]$ , isto é,

$[;Y(s) = \mathcal{L}\{y(x)\} = \int_{0}^{\infty}e^{-sx}y(x)dx \quad \quad (3);]$

Se $[;y^{\prime};]$ e $[;y^{\prime \prime};]$ denotam as derivadas de primeira e segunda da função $[;y(x);]$ , então $[;1);]$ $[;\mathcal{L}\{y^{\prime}\} = sY(s) - y(0);]$ ; $[;2);]$ $[;\mathcal{L}\{y^{\prime \prime}\} = s^2Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0);]$ ; $[;3);]$ $[;\mathcal{L}\{xy\} = - \frac{d}{ds}Y(s);]$ . A demonstração de $[;1);]$ segue usando integração por partes, ou seja:

$[;\mathcal{L}\{y^{\prime}\} = \int_{0}^{\infty}e^{-sx}y^{\prime}dx = e^{-sx}y\mid_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty}e^{-sx}ydx = sY(s) - y(0);]$

Para provar $[;2);]$ , fazemos $[;z = y^{\prime}(x);]$ de modo que

$[;\mathcal{L}\{y^{\prime \prime}\} = \mathcal{L}\{z^{\prime}\} = sZ(s) - z(0) = s[\mathcal{L}\{y^{\prime}\}] - y^{\prime}(0);]$ $[;= s[sY(s) - y(0)] - y^{\prime}(0);]$

Aplicando a regra de Leibniz para derivada sob o sinal de integração, obtém-se a propriedade $[;3);]$ . De fato,

$[;\mathcal{L}\{xy\} = \int_{0}^{\infty}xe^{-sx}y(x)dx = -\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}(e^{-sx})y(x)dx;]$ $[; = -\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-sx}ydx = -\frac{d}{ds}Y(s);]$

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada em $[;(2);]$ , temos:

$[;\mathcal{L}\{xy^{\prime \prime}\} + \mathcal{L}\{y^{\prime}\} + \mathcal{L}\{xy\}= 0;]$ $[;\quad \quad \Rightarrow -\frac{d}{ds}[s^2Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0)] + sY(s) - 1 - \frac{dY}{ds} = 0;]$

Usando as condições iniciais, obtemos após algumas simplicações a equação diferencial de primeira ordem de variáveis separáveis:

$[;(s^2 +1)\frac{dY}{ds} + sY= 0 \quad \Rightarrow \quad \ln Y + \ln \sqrt{s^2 + 1} = C_1;]$

ou seja,

$[;Y(s) = \frac{C_2}{\sqrt{s^2 + 1}} \quad \quad (4);]$

Para determinar a constante $[;C_2;]$ em $[;(4);]$ , usamos o teorema do Valor Inicial, ou seja:

$[;1 = y(0) = \displaystyle{\lim_{x \to 0}y(x)} = \displaystyle{\lim_{s \to \infty}\frac{C_2}{\sqrt{s^2 + 1}}} = C_2;]$

Assim, a função de Bessel de ordem zero, denotada por $[;J_0(x);]$ , a função obtida pela transformada inversa de Laplace de $[;1/sqrt{s^2 + 1};]$ , ou seja,

$[;J_0(x) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\}\quad \quad (5);]$

Esta função não pode ser expressa em termos de funções elementares, abaixo demostraremos a sua expansão em série usando o teorema do Binômio de Newton, como visto anteriormente, a função de Bessel de ordem zero é dada pela transformada inversa de Laplace

$[;J_0(x) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\}\quad \quad (1);]$

Para achar uma expressão em série de potências para a função de Bessel dada em $[;(1);]$ , note que

$[;J_0(x) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\} = \mathcal{L}^{-1}\frac{1}{s\sqrt{1 + \frac{1}{s^2}}} = \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s}\biggl( 1 + \frac{1}{s^2}\biggr)^{-1/2} \biggr\} \quad \quad (2);]$

Mas pelo binômio de Newton, temos

$[;(1 + x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^2 - \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}x^3 + \ldots;]$

Assim, da expressão $[;(2);]$ , segue que

$[;J_0(x) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\} = \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s}\biggl(1 - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{s^2} + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{1}{s^4} - \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}\frac{1}{s^6}+ \ldots \biggr) \biggr\};]$ $[;J_0(x) = \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s}\biggr\} - \frac{1}{2^2}\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{2!}{s^3}\biggr\} +;]$ $[; + \frac{1}{2^24^2} \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{4!}{s^4}\biggr\} - \frac{1}{2^24^26^2}\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{6!}{s^7}\biggr\}+\ldots;]$

Sendo

$[;\mathcal{L}^{-1}\biggl \{\frac{n!}{s^{n+1}}\biggr \} = t^n;]$

então

$[;J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2^24^2} - \frac{x^6}{2^24^26^2} + \ldots;]$

Essa expressão pode ser expressa também na forma

$[;J_0(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2k)^2} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^k \quad \quad (3);]$

Sendo

$[;\mathcal{L}\{J_0(x)\} = \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}};]$

podemos calcular $[;\mathcal{L}\{xJ_0(ax)\};]$ . De fato,

$[;\mathcal{L}\{xJ_0(ax)\} = -\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{xJ_0(ax)\} = -\frac{d}{ds}\biggl(\frac{1}{\sqrt{s^2 + a^2}}\biggr) \quad \Rightarrow;]$ $[;\mathcal{L}\{xJ_0(ax)\} = - \frac{d}{ds}[(s^2 + a^2)^{-1/2}] = -1\cdot \frac{(-1)}{2}(s^2 + a^2)^{-3/2}(2s);]$

ou seja,

$[;\mathcal{L}\{xJ_0(ax)\} = \frac{s}{(s^2 + a^2)^{3/2}};]$

Observação: A função de Bessel de ordem $[;1;]$ , é definida por $[;J_1(x) = - J_{0}^{\prime}(x);]$ , de modo que o resultado anterior é justamente a transformada de Laplace de $[;J_1(x);]$ . De fato,

$[;\mathcal{L}\{J_1(x)\} = -\mathcal{L}\{J_{0}^{\prime}\}(x) = (-1)\cdot (-1)s\mathcal{L}\{J_0(x)\};]$

ou seja,

$[;\mathcal{L}\{J_1(x)\} = \frac{s}{\sqrt{s^2 + 1}};]$

Para finalizar, iremos calcular a integral

$[;\int_{0}^{t}J_0(u)J_0(t - u)du;]$

Para isso, seja

$[;G(t) = \int_{0}^{t}J_0(u)J_0(t - u)du;]$

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando teorema da Convolução, temos:

$[;\mathcal{L}\{G(t)\} = \mathcal{L}\{J_0(u)\}\cdot \mathcal{L}\{J_0(t)\} = \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}} = \frac{1}{s^2 + 1};]$

donde segue que: $[;G(t) = \sin t;]$

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