3 de maio de 2011

As Funções de Bessel Através das Transformadas de Laplace

Por Prof. Paulo Sérgio C. Lino
As funções de Bessel são usadas durante o Curso de Engenharia Elétrica, principalmente no estudo dos fenômenos Eletromagnéticos; a teoria das ondas eletromagnéticas tem como pré requisito um conhecimento mínimo no calculo das equações diferenciais.
O Prof. Paulo Sérgio, demostra com clareza neste artigo, a base para esse estudo.

As funções de Bessel são dadas pelas soluções da equação diferencial
[;x^2y^{\prime \prime} + xy^{\prime} + (x^2 - \alpha^2)y = 0 \quad \quad (1);]
A equação [;(1);] surge em problemas relacionados à condução de calor, vibração e processamento de sinais. (Fonte: Wikipédia) Neste post, estudaremos algumas propriedades da função de Bessel de ordem zero que é a solução de [;(1);] fazendo [;\alpha = 0;] e com as condições iniciais [;y(0) = 1;] e [;y^{\prime}(0) = 0;], ou seja,
[;\begin{cases}xy^{\prime \prime} + y^{\prime} + xy = 0\\y(0) = 1\\y^{\prime}(0) = 0\\\end{cases}\quad \quad (2);]
Existe o método de Frobenius que resolve a equação [;(1);]e o problema de valor inicial [;(2);], mas prefiro usar as transformadas de Laplace, mostrando todas as suas potencialidades inclusive para algumas EDO's não-lineares. Antes de continuar em busca da solução do Problema de Valor Inicial [;(2);], vejamos algumas propriedades das transformadas de Laplace com relação as derivadas e ao produto por potências de [;x\ ;]. Seja [;Y(s);] a transformada de Laplace da função [;y(x);], isto é,
[;Y(s) = \mathcal{L}\{y(x)\} = \int_{0}^{\infty}e^{-sx}y(x)dx \quad \quad (3);]
Se [;y^{\prime};] e [;y^{\prime \prime};] denotam as derivadas de primeira e segunda da função [;y(x);], então [;1);] [;\mathcal{L}\{y^{\prime}\} = sY(s) - y(0);]; [;2);] [;\mathcal{L}\{y^{\prime \prime}\} = s^2Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0);]; [;3);] [;\mathcal{L}\{xy\} = - \frac{d}{ds}Y(s);]. A demonstração de [;1);] segue usando integração por partes, ou seja:
[;\mathcal{L}\{y^{\prime}\} = \int_{0}^{\infty}e^{-sx}y^{\prime}dx = e^{-sx}y\mid_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty}e^{-sx}ydx = sY(s) - y(0);]
Para provar [;2);], fazemos [;z = y^{\prime}(x);] de modo que
Aplicando a regra de Leibniz para derivada sob o sinal de integração, obtém-se a propriedade [;3);]. De fato,
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada em [;(2);], temos:
[;\mathcal{L}\{xy^{\prime \prime}\} + \mathcal{L}\{y^{\prime}\} + \mathcal{L}\{xy\}= 0;] [;\quad \quad \Rightarrow -\frac{d}{ds}[s^2Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0)] + sY(s) - 1 - \frac{dY}{ds} = 0;]
Usando as condições iniciais, obtemos após algumas simplicações a equação diferencial de primeira ordem de variáveis separáveis:
[;(s^2 +1)\frac{dY}{ds} + sY= 0 \quad \Rightarrow \quad \ln Y + \ln \sqrt{s^2 + 1} = C_1;]
ou seja,
[;Y(s) = \frac{C_2}{\sqrt{s^2 + 1}} \quad \quad (4);]
Para determinar a constante [;C_2;] em [;(4);], usamos o teorema do Valor Inicial, ou seja:
[;1 = y(0) = \displaystyle{\lim_{x \to 0}y(x)} = \displaystyle{\lim_{s \to \infty}\frac{C_2}{\sqrt{s^2 + 1}}} = C_2;]
Assim, a função de Bessel de ordem zero, denotada por [;J_0(x);], a função obtida pela transformada inversa de Laplace de [;1/sqrt{s^2 + 1};], ou seja,
[;J_0(x) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\}\quad \quad (5);]
Esta função não pode ser expressa em termos de funções elementares, abaixo demostraremos a sua expansão em série usando o teorema do Binômio de Newton, como visto anteriormente, a função de Bessel de ordem zero é dada pela transformada inversa de Laplace


[;J_0(x) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\}\quad \quad (1);]

[;J_0(x) = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\} = \mathcal{L}^{-1}\frac{1}{s\sqrt{1 + \frac{1}{s^2}}} = \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s}\biggl( 1 + \frac{1}{s^2}\biggr)^{-1/2} \biggr\} \quad \quad (2);]
Mas pelo binômio de Newton, temos
Sendo
então
[;J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2^24^2} - \frac{x^6}{2^24^26^2} + \ldots;]
[;J_0(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2k)^2} = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k!)^2}\biggl(\frac{x}{2}\biggr)^k \quad \quad (3);]
Sendo
[;\mathcal{L}\{J_0(x)\} = \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}};]
podemos calcular [;\mathcal{L}\{xJ_0(ax)\};]. De fato,
ou seja,
[;\mathcal{L}\{xJ_0(ax)\} = \frac{s}{(s^2 + a^2)^{3/2}};]
Observação: A função de Bessel de ordem [;1;], é definida por [;J_1(x) = - J_{0}^{\prime}(x);], de modo que o resultado anterior é justamente a transformada de Laplace de [;J_1(x);]. De fato,
[;\mathcal{L}\{J_1(x)\} = -\mathcal{L}\{J_{0}^{\prime}\}(x) = (-1)\cdot (-1)s\mathcal{L}\{J_0(x)\};]
ou seja,
[;\mathcal{L}\{J_1(x)\} = \frac{s}{\sqrt{s^2 + 1}};]
Para finalizar, iremos calcular a integral
Para isso, seja
[;G(t) = \int_{0}^{t}J_0(u)J_0(t - u)du;]


[;\mathcal{L}\{G(t)\} = \mathcal{L}\{J_0(u)\}\cdot \mathcal{L}\{J_0(t)\} = \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}} = \frac{1}{s^2 + 1};]
donde segue que: [;G(t) = \sin t;]
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